Question

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸、y軸兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角邊AC交x軸于點(diǎn)D，斜邊BC交y軸于點(diǎn)E；

（1）如圖（1），若A（0，1），B（2，0），求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖（2）， 當(dāng)?shù)妊黂t△ABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí)，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE

（3）如圖（3），在等腰Rt△ABC不斷運(yùn)動(dòng)的過程中，若滿足BD始終是∠ABC的平分線，試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，則△ACF≌△ABO（AAS），即得CF=OA=1，AF=OB=2，從而求得結(jié)果；（2）過點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G，則△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G， 由∠DCE=∠GCE=45°，可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，從而得到結(jié)論；（3）在OB上截取OH=OD，連接AH，由對(duì)稱性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，從而證得△ACE≌△BAH（AAS），即可得到AE=BH=2OA，從而得到結(jié)果.

試題解析：（1）過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F

通過證△ACF≌△ABO（AAS）

得CF=OA=1，AF=OB=2

∴OF=1

C（－1，－1）

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G

通過證△ACG≌△ABD（ASA）

得 CG=AD=CD ∠ADB=∠G

由 ∠DCE=∠GCE=45°

可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G

∴∠ADB=∠CDE

（3） 在OB上截取OH=OD,連接AH

由對(duì)稱性得AD=AH, ∠ADH=∠AHD

可證∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO

∴∠AEC=∠BHA

又∵AB=AC ∠CAE=∠ABH

∴△ACE≌△BAH（AAS）

∴AE=BH=2OA

∵DH=2OD

∴BD=2（OA +OD）

（方法不唯一）

考點(diǎn)：1.等腰直角三角形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì).