Question

（本題滿分10分）如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得AB=5，AD=4．在進行如下操作時遇到了下面的幾個問題，請你幫助解決．

（1）將△EFG的頂點G移到矩形的頂點B處，再將三角形繞點B順時針旋轉使E點落在CD邊上，此時，EF恰好經過點A（如圖2），請你求出AE和FG的長度．

（2）在（1）的條件下，小明先將三角形的邊EG和矩形邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點與B重合時停止．在平移過程中，設G點平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個過程中，y與x的函數關系式，并求當重疊部分面積為10時，平移距離x的值（如圖3）．

（3）在（2）的操作中，小明發現在平移過程中，雖然有時平移的距離不等，但兩紙片重疊的面積卻是相等的；而有時候平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．請探索這兩種情況下重疊部分面積y的范圍（直接寫出結果）．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）過B作BM⊥AE于M．根據△BEM∽△FEB，可求出FG=10；（2）分別求出當0≤x≤4時，和當4＜x≤10時的函數關系式，令y=10，分別求出x的值即可；（3）當0≤x≤4時，，求出函數值的取值范圍0≤y≤16．，當4＜x≤10時，y=－2x+24，求出函數值的取值范圍4≤y＜16，然后比較可得.

試題解析：【解析】
（1）過B作BM⊥AE于M．由AB=BE=5，BC=4．∴CE=3．∴DE=2．∴．

由AB=BE，BM⊥AE，∴．∴．由△BEM∽△FEB，，∴FG=10． ..3分

（2）當0≤x≤4時，；當4＜x≤10時，y=－2x+24，當y=10時，x=7或． .6分

（3）當0≤x≤4時，，頂點為（10，25），∴當0≤x≤4時，0≤y≤16．當4＜x≤10時，y=－2x+24，4≤y＜16．∴當4≤y<16時，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積y可能相等．當0≤y＜4或y=16時，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等． ..10分

考點：1.勾股定理；2.相似三角形的判定與性質；3.分段函數.