Question

12．如圖，⊙O中，PC切⊙O于點C，連PO交于⊙O點A、B，點F是⊙O上一點，連PF，CD⊥AB于點D，AD=2，CD=4，則PF：DF的值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． 5：3
• D． 4：3

Answer 1

分析 連接AC、OC、OF、BC．由△ADC∽△CDB，推出$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{DB}$，求出DB、OA、OD，由△ODC∽△OCP，推出$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OC}{OP}$，推出OC²=OD•OP，推出OF²=OD•OP，即$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OP}{OF}$，由∠DOF=∠POF，推出△DOF∽△FOP，可得$\frac{PF}{DF}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{5}{3}$．

解答 解：連接AC、OC、OF、BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{DB}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{4}{DB}$，
∴DB=8，OA=OB=5，OD=3，
∵PC是切線，
∴OC⊥PC，
∵∠DOC=∠POC，∠ODC=∠OCP，
∴△ODC∽△OCP，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OC}{OP}$，
∴OC²=OD•OP，
∴OF²=OD•OP，
∴$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OP}{OF}$，∵∠DOF=∠POF，
∴△DOF∽△FOP，
∴$\frac{PF}{DF}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{5}{3}$，
故選C．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、切線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．