Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)y=$\frac{2k}{x}$（k≠0）滿足：當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小．若該反比例函數(shù)的圖象與直線y=-x+$\sqrt{3}$k都經(jīng)過點P，且|OP|=4$\sqrt{2}$，則實數(shù)k的值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求得k的范圍，根據(jù)點在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)P的橫坐標(biāo)是m，則縱坐標(biāo)是$\frac{2k}{m}$．然后根據(jù)點P在直線上以及OP=4$\sqrt{2}$即可列方程組，求得k的值．

解答 解：∵反比例函數(shù)y=$\frac{2k}{x}$（k≠0）滿足：當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，
∴2k＞0，則k＞0．
設(shè)P的橫坐標(biāo)是m，則縱坐標(biāo)是$\frac{2k}{m}$．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k}{m}=-m+\sqrt{3}k…①}\\{{m}^{2}+（\frac{2k}{m}）^{2}=32…②}\end{array}\right.$．
由①得m+$\frac{2k}{m}$=$\sqrt{3}$k．
則（m+$\frac{2k}{m}$）²=3k²，即m²+（$\frac{2k}{m}$）²+4k=3k²-4k…③．
把③代入②得3k²-4k=32，
解得：k=4或-8（舍去）．
故答案是：4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點，正確列出方程組，利用完全平方公式化成關(guān)于k的方程是關(guān)鍵．