Question

12．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）若∠B=28°，求弧$\widehat{AD}$的度數(shù)；
（3）若點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段CP的長(zhǎng)度取值范圍是$\frac{18}{5}$≤CP≤4．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，過(guò)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，由垂徑定理可知M為AD的中點(diǎn)，由三角形的面積可求出CM的長(zhǎng)，在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理可求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠ACD=34°，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意即可得到結(jié)論．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
過(guò)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，如圖所示，
∵CM⊥AB，
∴M為AD的中點(diǎn)，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=$\frac{12}{5}$，
在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即9=AM²+（$\frac{12}{5}$）²，
解得：AM=$\frac{9}{5}$，
∴AD=2AM=$\frac{18}{5}$；
（2）∵∠ACB=90°，∠B=28°，
∴∠A=62°，
連接CD，
∵AC=CD，
∴∠CDA=∠A=28°，
∴∠ACD=34°，
∴弧$\widehat{AD}$的度數(shù)是34°；
（3）線段CP的長(zhǎng)度取值范圍是$\frac{18}{5}$≤CP≤4．
故答案為：$\frac{18}{5}$≤CP≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．