Question

12．如圖，拋物線y=x²在第一象限內經過的整數點（橫坐標、縱坐標都為整數的點）依次為A₁，A₂，A₃，…A_n，…．將拋物線y=x²沿直線L：y=x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：
①拋物線的頂點M₁，M₂，M₃，…M_n，…都在直線L：y=x上；
②拋物線依次經過點A₁，A₂，A₃…A_n，…．
則M₂₀₁₅頂點的坐標為（4029，4029）．

Answer 1

分析 根據拋物線y=x²與拋物線y_n=（x-a_n）²+a_n相交于A_n，可發現規律，根據規律，可得答案．

解答 解：M₁（a₁，a₁）是拋物線y₁=（x-a₁）²+a₁的頂點，
拋物線y=x²與拋物線y₁=（x-a₁）²+a₁相交于A₁，
得x²=（x-a₁）²+a₁，
即2a₁x=a₁²+a₁，
x=$\frac{1}{2}$（a₁+1）．
∵x為整數點
∴a₁=1，
M₁（1，1）；
M₂（a₂，a₂）是拋物線y₂=（x-a₂）²+a₂=x²-2a₂x+a₂²+a₂頂點，
拋物線y=x²與y₂相交于A₂，
x²=x²-2a₂x+a₂²+a₂，
∴2a₂x=a₂²+a₂，
x=$\frac{1}{2}$（a₂+1）．
∵x為整數點，
∴a₂=3，
M₂（3，3），
M₃（a₃，a₃）是拋物線y₂=（x-a₃）²+a₃=x²-2a₃x+a₃²+a₃頂點，
拋物線y=x²與y₃相交于A₃，
x²=x²-2a₃x+a₃²+a₃，
∴2a₃x=a₃²+a₃，
x=$\frac{1}{2}$（a₃+1）．
∵x為整數點
∴a₃=5，M₃（5，5），
∴點M₂₀₁₅，兩坐標為：2015×2-1=4029，
∴M₂₀₁₅（4029，4029），
故答案是：（4029，4029）．

點評 本題考查了二次函數圖象與幾何變換，定點沿直線y=x平移是解題關鍵．