Question

7．如圖，直線y=x+2交y軸、x軸于點A，B兩點，點F的坐標為（-2，2），雙曲線y=$\frac{k}{x}$過線段AF的中點，在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上取一點P，連接PF并延長交雙曲線于點Q，過P點作x軸的平行線交直線AB于點M．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求證：PM=PF；
（3）若線段PQ的長為5，求直線PQ的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出線段AF的中點坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（2））設P（m，-$\frac{2}{m}$），求出PF、PM的長即可角問題．
（3）設直線PQ的解析式為y=kx+b，把（-2，2）代入得到b=2+2k，推出直線PQ的解析式為y=kx+2+2k，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{x}}\\{y=kx+2+2k}\end{array}\right.$，消去y得到，kx²+2（1+k）x+2=0，推出x₁+x₂=-$\frac{2（1+k）}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，推出y₁+y₂=$\frac{-2}{{x}_{1}}$+$\frac{-2}{{x}_{2}}$=-2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2+2k，y₁•y₂=$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k，由PQ=5，推出（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=25，推出（x₁+x₂）²-4x₁x₂+（y₁+y₂）²-4y₁y₂=25，可得$\frac{4（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$-$\frac{8}{k}$+（2+2k）²-8k=25，解方程求出k即可．

解答 解：（1）由題意A（0，2），B（-2，0），
∵F（-2，2），
∴AF的中點坐標為（-1，2），代入y=$\frac{k}{x}$得到k=-2，
∴雙曲線的解析式為y=-$\frac{2}{x}$．

（2）設P（m，-$\frac{2}{m}$），
∵F（-2，2），
∴PF=$\sqrt{（m+2）^{2}+（-\frac{2}{m}-2）^{2}}$
=$\sqrt{（-\frac{2}{m}-2）^{2}-2•m（-\frac{2}{m}-2）+{m}^{2}}$
=$\sqrt{（-\frac{2}{m}-2-m）^{2}}$
=-$\frac{2}{m}$-2-m，（注意：-$\frac{2}{m}$-m-2＞0），
∵PM∥x軸，
∴M（-$\frac{2}{m}$-2，-$\frac{2}{m}$），
∴PM=-$\frac{2}{m}$-m-2，
∴PF=PM．

（3）設直線PQ的解析式為y=kx+b，把（-2，2）代入得到b=2+2k，
∴直線PQ的解析式為y=kx+2+2k，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{x}}\\{y=kx+2+2k}\end{array}\right.$，消去y得到，kx²+2（1+k）x+2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2（1+k）}{k}$，x₁x₂=$\frac{2}{k}$，
∴y₁+y₂=$\frac{-2}{{x}_{1}}$+$\frac{-2}{{x}_{2}}$=-2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2+2k，y₁•y₂=$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k，
∵PQ=5，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=25，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂+（y₁+y₂）²-4y₁y₂=25，
∴$\frac{4（1+k）^{2}}{{k}^{2}}$-$\frac{8}{k}$+（2+2k）²-8k=25，
整理得4（1+k²）²=25k²，
∴2（1+k²）=±5k，
∴2k²+5k+2=0或2k²-5k+2=0
∴k=2或$\frac{1}{2}$或-2或-$\frac{1}{2}$，
由題意k＞0，
∴直線PQ的解析式為y=2x+6或y=$\frac{1}{2}$x+3．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的應用、兩點間距離公式、一元二次方程的根與系數的關系，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．