Question

9．閱讀理解：由面積都是1的小正方格組成的方格平面叫做格點平面．而縱橫兩組平行線的交點叫做格點．如圖1中，有9個格點，如果一個正方形的每個頂點都在格點上，那么這個正方形稱為格點正方形．
（1）探索發現：按照圖形完成下表：

	格點正方形邊上格點數p	格點正方形內格點數q	$\frac{p}{2}+q-1$	格點正方形面積S
圖1	4	1	2	2
圖2	4	4	5	5
圖3	12	4	9	9
圖4	4	9	10	10

關于格點正方形的面積S，從上述表格中你發現了什么規律？
（2）繼續猜想：類比格點正方形的概念，如果一個長方形的每個頂點都在格點上，那么這個長方形稱為格點長方形，對于格點長方形的面積，你認為也有類似（1）中的規律嗎？試以圖5中格點長方形為例來說明．

Answer 1

分析 （1）結合圖形分別數出邊上的格點數、內部格點數、再計算$\frac{p}{2}+q-1$、S的值，列出前四個圖形各數據可得規律；
（2）列出圖5中的p、q、$\frac{p}{2}+q-1$、S的值得出規律．

解答 解：（1）圖1中、p=4，q=1，$\frac{p}{2}+q-1$=2，S=$\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
圖2中、p=4，q=4，$\frac{p}{2}+q-1$=5，S=$\sqrt{5}×\sqrt{5}$=5，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
圖3中、p=12，q=4，$\frac{p}{2}+q-1$=9，S=3×3=9，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
圖4中、p=4，q=9，$\frac{p}{2}+q-1$=10，S=$\sqrt{10}×\sqrt{10}$=10，可知S=$\frac{p}{2}+q-1$；
…
綜上，格點正方形的面積S等于格點正方形邊上格點數p除以2加上格點正方形內格點數q減1，即S=$\frac{p}{2}+q-1$；
（2）對于格點長方形的面積，也有S=$\frac{p}{2}+q-1$；
例如：圖5中p=6，q=8，$\frac{p}{2}+q-1$=10，S=$\sqrt{5}$×$2\sqrt{5}$=10，故S=$\frac{p}{2}+q-1$仍然成立．
故答案為：（1）2，5，5，12，9，9，10，10．

點評 本題主要考查圖形的變化規律，補全表格結合表格得出數據間聯系是關鍵，屬中檔題．