Question

19．如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點F，點E在BD上，且$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{ED}$=$\frac{AC}{AD}$．
（1）求證：∠BAE=∠CAD；
（2）求證：△ABE∽△ACD．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的判定定理得到△ABC∽△AED，由相似三角形的性質得到∠BAC=∠EAD，根據角的和差即可得到結論；
（2）由已知條件得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，根據∠BAE=∠CAD，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即可得到結論．

解答 證明：（1）在△ABC與△AED中，
∵$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{ED}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF，
即∠BAE=∠CAD；

（2）∵$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
在△ABE與△ACD中，
∵∠BAE=∠CAD，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，
∴△ABE∽△ACD．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．