Question

15．閱讀材料：
我們曾經解決過如下問題：“如圖1，點M，N分別在直線AB同側，如何在直線AB上找到一個點P，使得PM+PN最小？”
我們可以經過如下步驟解決這個問題：
（1）畫草圖（或目標圖）分析思路：在直線AB上任取一點P′，連接P′M，P′N，根據題目需要，作點M關于直線AB的對稱點M′，將P′M+P′N轉化為P′M′+P′N′，“化曲為直”尋找P′M′+P′N的最小值；
（2）設計畫圖步驟；
（3）回答結論并驗證．
解決下列兩個問題：
（1）如圖2，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直且平分BC，點P在直線EF上，直接寫出PA+PB的最小值，回答PA+PB取最小值時點P的位置并在圖中標出來；解：PA+PB的最小值為4，PA+PB取最小值時點P的位置是線段CA與直線EF的交點；
（2）如圖3，點M，N分別在直線AB兩側，在直線AB上找一點P，使得∠MPB=∠NPB．要求畫圖，并簡要敘述確定點P位置的步驟．（無需尺規作圖，保留畫圖痕跡，無需證明）
解：確定點P位置的簡要步驟：先畫點M關于直線AB的對稱點M'，射線NM'與直線AB的交點即為點P．

Answer 1

分析 （1）根據題意知點B關于直線EF的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結論．
（2）先畫點M關于直線AB的對稱點M'，射線NM'與直線AB的交點即為點P．

解答 解：（1）解：

∵EF垂直平分BC，
∴B、C關于EF對稱，
設AC交EF于D，
∴當P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，最小值為4．
故答案為4，線段AC與直線EF的交點．

（2）先畫點M關于直線AB的對稱點M'，射線NM'
與直線AB的交點即為點P．（見圖3）

故答案為先畫點M關于直線AB的對稱點M'，射線NM'與直線AB的交點即為點P．

點評 本題考查三角形綜合題、軸對稱變換、最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱，根據兩點之間線段最短解決最短問題，屬于中考常考題型．