Question

15．如圖，在線段AB取一點C（非中點），分別以AC、BC為邊在AB的同側作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于F，連接BD交CE與于G，AE和BD交于點H，則下列正確結論的序號是①③④．
①AE=DB；②不另外添加線，圖中全等三角形只有1對；③若連接FG，則△CFG是等邊三角形；④若連接CH，則CH平分∠FHG．

Answer 1

分析 根據等邊三角形的性質得到∠ACD=∠BCE=60°，證得∠BCD=∠ACE，推出△ACE≌△DCB（SAS），根據全等三角形的性質得到AE=BD，故①正確，∠CAE=∠CDG，證得∠ACD=∠DCE，推出△ACF≌△DCG，同理△BCG≌△ECF，故②錯誤；根據全等三角形的性質得到CF=CG，由∠FCG=60°，得到△FCG是等邊三角形；故③正確，過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，推出△ACM≌△DCN，根據全等三角形的性質得到CM=CN，根據角平分線的性質得到CH平分∠FHG，故④正確．

解答 解：∵△ACD與△BCE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，故①正確，∠CAE=∠CDG，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACF與△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠CDG}\\{AC=CD}\\{∠ACF=∠DCG}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DCG，
同理△BCG≌△ECF，故②錯誤；
∵△ACF≌△DCG，
∴CF=CG，
∵∠FCG=60°，
∴△FCG是等邊三角形；故③正確；
過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∴∠AMC=∠DNC=90°，
在△ACM與△DNC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CDN}\\{∠AMC=∠DNC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
∴CH平分∠FHG，故④正確，
故答案為：①③④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的判定，等邊三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．