Question

如圖所示，已知四邊形OABC是菱形，∠O=60°，點M是邊OA的中點，以點O為圓心，r為半徑作⊙O分別交OA，OC于點D，E，連接BM．若BM=，的長是．求證：直線BC與⊙O相切．

Answer 1

證明見解析

試題分析：過點O作OF⊥BC于F，過點B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG。設菱形OABC的邊長為2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，求得a=1，得到OF=，再根據弧長公式求出r=，則圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r，從而判定直線BC與⊙O相切�！�
證明：如圖，過點O作OF⊥BC于F，過點B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG.

設菱形OABC的邊長為2a，則AM=OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，∠COA =60°，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°﹣60°=30°。
∴AG=AB=a，BG=AG=a。
在Rt△BMG中，
∵∠BGM=90°，BG=aGM=a+a=2a，BM=，
∴BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，解得a=1�！郞F=BG=。
又∵的長=，∴r=。
∴OF=r=，即圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r。
∴直線BC與⊙O相切。