Question

如圖，直線分別與x、y軸交于點B、C，點A（﹣2，0），P是直線BC上的動點．

（1）求∠ABC的大小；
（2）求點P的坐標，使∠APO=30°；
（3）在坐標平面內，平移直線BC，試探索：當BC在不同位置時，使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變？若不變，指出點P的個數有幾個？若改變，指出點P的個數情況，并簡要說明理由．

Answer 1

（1）60°
（2）點P坐標為（0，），（1，）
（3）當BC在不同位置時，點P的個數會發生改變，使∠APO=30°的點P的個數情況有四種：1個、2個、3個、4個。理由見解析

試題分析：（1）求得B、C的坐標，在直角△BOC中，利用三角函數即可求解。
（2）取AC中點Q，以點Q為圓心，2為半徑長畫圓⊙Q，⊙Q與直線BC的兩個交點，即為所求；
（3）當BC在不同位置時，點P的個數會發生改變，使∠APO=30°的點P的個數情況有四種：1個、2個、3個、4個，如答圖2所示。　
解：（1）在中，令x=0，得y=；令y=0，得x=2。
∴C（0，），B（2，0）。∴OC=，OB=2。
∴。∴∠ABC=60°。
（2）如答圖1，連接AC，

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4。
又∵AB=4，∴AB=BC。
∴△ABC為等邊三角形，AB=BC=AC=4。
取AC中點Q，以點Q為圓心，2為半徑長畫圓，與直線BC交于點P₁，P₂。
∵QP₁=2，QO=2，
∴點P₁與點C重合，且⊙Q經過點O。
∴P₁（0，）。
∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ為等邊三角形。
∴在⊙Q中，AO所對的圓心角∠OQA=60°。
由圓周角定理可知，AO所對的圓周角∠APO=30°，故點P₁、P₂符合條件。
∵QC=QP₂，∠ACB=60°，∴△P₂QC為等邊三角形。∴P₂C=QP=2。∴點P₂為BC的中點。
∵B（2，0），C（0，），∴P₂（1，）。
綜上所述，符合條件的點P坐標為（0，），（1，）。
（3）當BC在不同位置時，點P的個數會發生改變，使∠APO=30°的點P的個數情況有四種：1個、2個、3個、4個。如答圖2所示，

以AO為弦，AO所對的圓心角等于60°的圓共有2個，記為⊙Q，⊙Q′，點Q，Q′關于x軸對稱。
∵直線BC與⊙Q，⊙Q′的公共點P都滿足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°，
∴點P的個數情況如下：
①有1個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切；
②有2個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相交；
③有3個：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切，同時與⊙Q（或⊙Q′）相交；直線BC過⊙Q與⊙Q′的一個交點，同時與兩圓都相交；
④有4個：直線BC同時與兩圓都相交，且不過兩圓的交點