Question

18．等邊△ABC的邊長為18，在AC，BC邊上各取一點D，E，連接AE，BD相交于點P，若AE=BD，當D從點A運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑長為4$\sqrt{3}$π或9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分兩種情況討論：①點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當D為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案．②點E靠近點B時，點P的路徑就是過點C向AB做的垂線段．

解答 解：若AE=BD，則有AD=BE或AD=CE兩種情況：
①當AD=CE時，點P的路徑是一段弧，當D為AC的中點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，

此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=18，
∴OA=6$\sqrt{3}$，
∴點P的路徑長l=$\frac{120×π×6\sqrt{3}}{180}$=4$\sqrt{3}$π；

②當AD=BE時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段CG，

因為等邊三角形ABC的邊長為18，
所以點P的路徑長CG為：9$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$π或9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，弧線長公式的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵，解答本題時注意轉(zhuǎn)化思想的運用．