Question

11．如圖，已知H為銳角△ABC的垂心，D是使四邊形AHCD為平行四邊形的一點，過BC的中點M作AB的垂線，垂足為N，K為MN的中點，過點A作BD的平行線交MN于點G，若A，K，M，C四點共圓．求證：直線BK平分線段CG．

Answer 1

分析 先判斷出點A，B，C，D共圓，進而判斷出△ANG≌△ANK，最后用梅涅勞定理即可得出結論．

解答 證明：如圖，

設BK交CG于E，連接AG，AK，
∵A，K，M，C四點共圓，
∴∠ACB=∠AKG（外角等于內對角），
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，CH⊥AB，
∵四邊形AHCD是平行四邊形，
∴CH∥AD，AH∥CD，
∴CD⊥BC，AD⊥AB，
∴∠BCD=∠BAD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴點A，B，C，D四點共圓，
∴∠5=∠ACB=∠AKG，
∵AH⊥BC，
MN⊥AB，AD⊥AB，
∴∠1=∠2=∠4，
∵AG∥BD，
∴∠3=∠4=∠2，
在△ANG和△ANK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠2}\\{∠ANG=∠ANK=90°}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ANG≌△ANK，
∴GN=KN=MK，
∴MK=$\frac{1}{2}$KG，
∵直線BKE截得△GMC，
由梅涅勞斯定理得：$\frac{GE}{EC}•\frac{CB}{BM}•\frac{MK}{KG}=1$，
∵點M是CB中點，
∴CB=2BM，
∴GE=EC，
∴直線BK平分線段CG．

點評 此題是三角形的五心，主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，梅涅勞定理，解本題的關鍵是判斷出MK=$\frac{1}{2}$KG，是一道很好的競賽題．