Question

9．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=30°，AB=6，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在AC上截取AE=AN，先證明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．欲求BM+MN最小值，只要求BM+EM的最小值，當(dāng)B、M、E共線，BE⊥AC時(shí)，BM+ME最小．

解答 解：如圖，在AC上截取AE=AN，
∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME與△AMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME，
欲求BM+MN最小值，只要求BM+EM的最小值，
當(dāng)B、M、E共線，BE⊥AC時(shí)，BM+ME最小，
∵AB=6，∠BAC=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴BM+MN的最小值是3．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短問題、直角三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造全等三角形，把BM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用垂線段最短解決問題，屬于中考常考題型．