Question

17．如圖①，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由A向B運動．同時點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t s．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=1時，△ACP與△BPQ是否全等？請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系．
（2）如圖②，將“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA”，其他條件不變，設點Q運動速度為x cm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應x，t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解答 解：（1）當t=1時，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ}\\{∠A=∠B}\\{AC=BP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即線段PC與線段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC=BP，AP=BQ，
$\left\{\begin{array}{l}{3=4-t}\\{t=xt}\end{array}\right.$，
解得
$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{x=1}\end{array}\right.$；
②若△ACP≌△BQP，
則AC=BQ，AP=BP，
$\left\{\begin{array}{l}{3=xt}\\{t=4-t}\end{array}\right.$，
解得
$\left\{\begin{array}{l}{t=2}\\{x=1.5}\end{array}\right.$；
綜上所述，存在$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{x=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=2}\\{x=1.5}\end{array}\right.$使得△ACP與△BPQ全等．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，注意分類討論思想的滲透．