Question

9．在平面直角坐標系中，點A（-3，0），B（0，3），點C為x軸正半軸上一動點，過點A作AD⊥BC交y軸于點E．

（1）如圖①，若點C的坐標為（2，0），試求點E的坐標；
（2）如圖②，若點C在x軸正半軸上運動，且OC＜3，其它條件不變，連接DO，求證：OD平分∠ADC
（3）若點C在x軸正半軸上運動，當AD-CD=OC時，求∠OCB的度數．

Answer 1

分析 （1）先根據AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根據點C的坐標為（2，0），得到OC=2=OE，進而得到點E的坐標；
（2）先過點O作OM⊥AD于點M，作ON⊥BC于點N，根據△AOE≌△BOC，得到S_△AOE=S_△BOC，且AE=BC，再根據OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，進而得到OD平分∠ADC；
（3）在DA上截取DP=DC，連接OP，根據SAS判定△OPD≌△OCD，再根據三角形外角性質以及三角形內角和定理，求得∠PAO=30°，進而得到∠OCB=60°．

解答 解：（1）如圖①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，
∴∠AOE=∠BDE，
又∵∠AEO=∠BED，
∴∠OAE=∠OBC，
∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOE≌△BOC，
∴OE=OC，
又∵點C的坐標為（2，0），
∴OC=2=OE，
∴點E的坐標為（0，2）；

（2）如圖②，過點O作OM⊥AD于點M，作ON⊥BC于點N，
∵△AOE≌△BOC，
∴S_△AOE=S_△BOC，且AE=BC，
∵OM⊥AE，ON⊥BC，
∴OM=ON，
∴OD平分∠ADC；

（3）如所示，在DA上截取DP=DC，連接OP，
∵∠PDO=∠CDO，OP=OP，
∴△OPD≌△OCD，
∴OC=OP，∠OPD=∠OCD，
∵AD-CD=OC，
∴AD-DP=OP，即AP=OP，
∴∠PAO=∠POA，
∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD=90°，
∴3∠PAO=90°，
∴∠PAO=30°，
∴∠OCB=60°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的判定定理以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，運用全等三角形的性質進行求解．