Question

15．已知關于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若2x₁•x₂+x₁+x₂=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據根的判別式列出關于k的不等式求解可得；
（2）根據韋達定理得出x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，代入2x₁•x₂+x₁+x₂=3得：2k²+2+2k-3=3，解之即可．

解答 解：（1）根據題意得：△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）＞0，
解得：k＜$\frac{5}{12}$；

（2）∵x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，
∴由2x₁•x₂+x₁+x₂=3得：2k²+2+2k-3=3，
解得：k=1或k=-2，
∵k＜$\frac{5}{12}$，
∴k=-2．

點評 本題主要考查根的判別式和韋達定理，熟練掌握根的判別式和韋達定理得出關于k的不等式或方程是解題的關鍵．