Question

3．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為邊AC的中點，過點D作DE⊥DF，交AB于點E，交BC于點F，連接EF，若AE=4，FC=3，求EF的長．

Answer 1

分析 連接BD，根據的等腰直角三角形的性質證明△BED≌△CFD就可以得出AE=BF、BE=CF，由AE=BF，FC=BE就可以求得EF的長．

解答 解：連接BD．

∵D是AC中點，
∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△BED和△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠C}\\{BD=CD}\\{∠EDB=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF；
∵AB=BC，BE=CF=3，
∴AE=BF=4，
在Rt△BEF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=5．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了勾股定理的運用，本題中連接BD證得△BED≌△CFD是解題的關鍵．