Question

1．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．
（1）直線BF垂直于直線CE，交CE于點F，交CD于點G（如圖①），求證：AE=CG；
（2）直線AH垂直于直線CE，交CE的延長線于點H，交CD的延長線于點M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

分析 （1）首先根據點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（2）根據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM．

解答 （1）證明：
∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCG}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠CBG}\end{array}\right.$
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；
（2）解：BE=CM．
證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CMA}\\{∠CBE=∠ACM}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．