Question

15．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A-C-B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B-C-A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以每秒1cm和2cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)．
（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ能否把原三角形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？若能，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．問(wèn)：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△PEC與QFC全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出CP和CQ，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）求出斜邊AB，求出周長(zhǎng)，即可得出方程，求出方程的解即可；
（3）此題分兩種情況：①PC=QC時(shí)，△PEC與△QFC全等，②點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，△PEC與△QFC全等，然后計(jì)算出t的值即可．

解答 解：（1）如圖1，
AP=2×1=2（cm），BQ=2×2=4（cm），
CP=6cm-2cm=4cm，CQ=8cm-4cm=4cm
PQ=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$（cm）；

（2）直線PQ能把原三角形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，設(shè)此時(shí)時(shí)間為t秒，
理由是：由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
即△ABC的周長(zhǎng)為6cm+8cm+10cm，
∵PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，
∴6-t+8-2t=12，
解得：t=$\frac{2}{3}$，
即當(dāng)t=$\frac{2}{3}$秒時(shí)，直線PQ把原三角形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分；

（3）如圖2，
∵△PEC與△QFC全等，
∴PC=QC．
∴6-t=8-2t．
解得：t=2；
如圖3，
∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，
∴△PEC與△QFC全等，
∴6-t=2t-8．
解得：t=$\frac{14}{3}$．
綜上所述：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒或$\frac{14}{3}$秒時(shí)，△PEC與△QFC全等．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能正確根據(jù)定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．