Question

5．要在半徑長為1米、圓心角為60°的扇形鐵皮（如圖）上截取一塊面積盡可能大的正方形，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)截取方案（畫出示意圖），并計(jì)算這個(gè)正方形鐵皮的面積（精確到0.01）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，分別連接PQ和過O作OG⊥DE，交CF于點(diǎn)H，連接OF，構(gòu)造直角三角形求得正方形的邊長，求得正方形的面積后比較即可．由于正方形內(nèi)接于扇形，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：有如下兩種截取方式，
方案一：如圖1

連接OF，設(shè)正方形CDEF的邊長為x，
∵圓心角為60°，
∴OD=CDcot∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
則在Rt△OFE中，
OF²=OE²+EF²，即1²=x²+（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²，
解得x²=$\frac{21-6\sqrt{3}}{37}$，
∴S_{四邊形CDEF}=x²=$\frac{21-6\sqrt{3}}{37}$≈0.29；

方案二：如圖2所示，

過O作OG⊥EF，交CD于點(diǎn)H，連接OE，
設(shè)EG=x，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴EG=DH=x，
∵∠DOC=60°，H為CD中點(diǎn)，
∴OH=$\sqrt{3}$DH，
∴OG=OH+HG=$\sqrt{3}$HC+CF=$\sqrt{3}$x+2x，
在Rt△OEG中，
OE²=GE²+OG²，即1²=x²+（$\sqrt{3}$x+2x）²，
解得x²=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四邊形CDEF}=4x²=2-$\sqrt{3}$≈0.27，
∴第（一）種方案截取的正方形的面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，再進(jìn)行解答．