Question

9．當x分別取-2014、-2013、2012、…、-2、-1、0、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、…、$\frac{1}{2012}$、$\frac{1}{2013}$、$\frac{1}{2014}$時，計算分式$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$的值，再將所得結果相加，其和等于-1．（溫馨提示：注意尋找計算的突破口）

Answer 1

分析 設a為負整數，將x=a代入得：$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，將x=-$\frac{1}{a}$代入得：$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，故此可知當x互為負倒數時，兩分式的和為0，然后求得當x=0時，分式的值即可．

解答 解：設a為負整數．
∵當x=a時，分式的值=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，當x=-$\frac{1}{a}$時，分式的值=$\frac{（-\frac{1}{a}）^{2}-1}{（-\frac{1}{a}）^{2}+1}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$，
∴當x=a時與當x=-$\frac{1}{a}$時，兩分式的和=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}+1}$=0．
∴當x的值互為負倒數時，兩分式的和為0．
∴所得結果的和=$\frac{{0}^{2}-1}{{0}^{2}+1}$=-1，
故答案為：-1．

點評 本題主要考查的是分式的加減，發現當x的值互為負倒數時，兩分式的和為0是解題的關鍵．