Question

14．三角形ABC中，∠BAC=60度，D是BC上一點，且△的外心S在AD上，CD=2BD，過S作SE⊥BC于點E，求DE：SE．

Answer 1

分析 連接SB和SC，根據圓周角定理求出∠BSC，根據三角形的外接圓求出SB=SC，根據等腰三角形的性質求出∠CSE和CE=BE，求出SE，即可求出答案．

解答 解：
連接SB、SC，
∵S為△ABC的外接圓的圓心，∠BAC=60°，
∴SB=SC，∠BSC=2BAC=120°，
∵SE⊥BC，
∴∠CSE=$\frac{1}{2}$∠BSC=60°，BE=CE，
∵DC=2BD，
設BD=x，則CD=2x，BE=CE=1.5x，
則DE=1.5x-x=0.5x，
在Rt△SEC中，tan60°=$\frac{SE}{EC}$，
∴SE=EC×tan60°=2$\sqrt{3}$x，
∴DE：SE=0.5x：2$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$：12．

點評 本題考查了圓周角定理，三角形的外接圓和外心，解直角三角形，等腰三角形的性質等知識點，能求出SE和DE的長是解此題的關鍵．