Question

2．已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點E在△ABC內，∠CAE+∠CBE=90°
（1）如圖1，當四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF
①求證：△CAE∽△CBF；
②若BE=1，AE=2，求CE的長；
（2）如圖2，當四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{FC}$=k時．若BE=1，AE=2，CE=3，則k=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）①首先根據四邊形ABCD和EFCG均為正方形，可得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$，∠ACE=∠BCF；然后根據相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
②首先根據△CAE∽△CBF，判斷出∠CAE=∠CBF，再根據∠CAE+∠CBE=90°，判斷出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根據勾股定理，求出EF的長度，再根據CE、EF的關系，求出CE的長是多少即可．
（2）首先根據相似三角形判定的方法，判斷出△ACE∽△BCF，即可判斷出$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，據此求出BF的長度是多少；然后判斷出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根據勾股定理，求出EF的值是多少，進而求出k的值是多少即可．

解答 （1）證明：
①∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$，
∵∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
②∵△CAE∽△CBF，
∴∠CBF=∠CAE，$\frac{AE}{BF}$=$\sqrt{2}$，
∵AE=2，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
在Rt△EBF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵四邊形EFCG為正方形，
∴CE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{6}$；
（3）連接BF，

∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{EF}{FC}$，∠ABC=∠EFC=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△CEF，
∴$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CE}{CF}$，
又∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∵AE=2，
∴BF=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵∠EBF=90°，
∴EF²=BE²+BF²=1+$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
∵CE=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$EF，
∴CE²=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（1+$\frac{4}{{k}^{2}+1}$）=9，解得k=$\frac{\sqrt{10}}{4}$或k=-$\frac{\sqrt{10}}{4}$（不合題意，舍去），
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及正方形、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、方程思想等知識．在（1）中利用正方形的性質找到三角形相似的條件是解題的關鍵，在（2）中連接BF，把問題轉化成（1）的形式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．