Question

17．如圖，△ABC中AB=AC=13，BC=10，點D在邊AB上，以D為圓心作⊙D，當⊙D恰好同時與邊AC、BC相切時，此時⊙D的半徑長為$\frac{120}{23}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，連接CD，如圖，設⊙D的半徑為r，先利用等腰三角形的性質得BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=5，則利用勾股定理可計算出AH=12，再根據切線的性質得DE=DF=r，然后根據三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•AH•BC=$\frac{1}{2}$DE•BC+$\frac{1}{2}$•DF•AC，即$\frac{1}{2}$×10•r+$\frac{1}{2}$×13×r=$\frac{1}{2}$×10×12，再解關于r的方程即可．

解答 解：作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，連接CD，如圖，設⊙D的半徑為r，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=5，
在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵⊙D同時與邊AC、BC相切，
∴DE=DF=r，
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△DBC，
∴$\frac{1}{2}$•AH•BC=$\frac{1}{2}$DE•BC+$\frac{1}{2}$•DF•AC，
即$\frac{1}{2}$×10•r+$\frac{1}{2}$×13×r=$\frac{1}{2}$×10×12，
∴r=$\frac{120}{23}$，
即當⊙D恰好同時與邊AC、BC相切時，此時⊙D的半徑長為$\frac{120}{23}$．
故答案為$\frac{120}{23}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系或過圓心作切線的垂線段得到圓的半徑．