Question

10．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為4cm的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F，當∠EOD=30°時，CE的長是$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根據菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DAO=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∵菱形的邊長為4，∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴AO=$\sqrt{A{D}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AE=CF=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵菱形的邊長為4，∠BAD=60°，
∴高EF=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CEF中，CE=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
故答案為：$\sqrt{21}$．

點評 本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，求出△CEF是直角三角形是解題的關鍵，也是難點．