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10.已知如圖:AB是⊙O的直徑,點P在線段AB的延長線上,BP=OB=2,點Q是半圓上一動點(不與A、B重合),連接PQ,交⊙O于點C.下列結論:①∠QAP=∠BCP;②$\frac{CP}{QP}$=$\frac{BP}{AP}$;若點Q為劣弧$\widehat{AC}$的中點,則C是PQ的中點;④若點Q與C重合時,則PQ=2$\sqrt{3}$.其中正確的是①③④0(把所有正確結論的序號都選上)

分析 根據圓內接四邊形的性質即可得到∠QAP=∠BCP,故①正確;根據相似三角形的性質得到$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$,故②錯誤;連接OQ,根據垂徑定理得到OQ⊥AC,推出OQ∥BC,于是得到C是PQ的中點;故③正確;若點Q與C重合時,PQ=PC,于是得到PQ2=PA•PB,代入數據即可得到PQ=2$\sqrt{3}$,故④正確.

解答 解:∵四邊形ABCQ是圓內接四邊形,
∴∠QAP+∠BCQ=180°,
∵∠BCQ+∠BCP=180°,
∴∠QAP=∠BCP,故①正確;
∵∠P=∠P,
∴△PBC∽△PQA,
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$,故②錯誤;
連接OQ,
∵點Q為劣弧$\widehat{AC}$的中點,
∴$\widehat{AQ}$=$\widehat{CQ}$,
∴OQ⊥AC,
∵AB是⊙O的直徑,
∴BC⊥AC,
∴OQ∥BC,
∵PB=OB,
∴PC=CQ,
∴C是PQ的中點;故③正確;
∵若點Q與C重合時,PQ=PC,
∵$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$,
∴PQ2=PA•PB,
∵BP=OB=2,
∴PA=6,
∴PQ=2$\sqrt{3}$,故④正確,
故答案為:①③④.

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質,圓周角定理,垂徑定理,平行線的性質,掌握政策輔助線是解題的關鍵.

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11106159161312082810176
1375731210711368141512
(1)求樣本數據中為A級的頻率;
(2)試估計1000個18~35歲的青年人中“日均發微博條數”為A級的人數;
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(3)對于n型等腰三角形,若頂角為銳角,請直接寫出n的取值范.

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