Question

15．如圖，AB，CD是⊙O的兩條平行弦，MN是AB的垂直平分線，交⊙O于M，N，交AB，CD于E，F
（1）求證：MN垂直平分CD；
（2）連AC，BC若EN=1，AE=3，CD=7，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）AB，CD是⊙O的兩條平行弦，MN是AB的垂直平分線，由此可知MN是圓O的直徑，從而由垂徑定理可知MN垂直平分CD
（2）連接OC、OB，AC與MN交于點G，設OB=OC=r，所以OE=r-1，根據勾股定理即可求出r的值，從而可求出OF的值，由于CD∥AB，所以△CFG∽△BEG，從而可求出$\frac{FG}{EG}$的值，最后求出GE的長度即可求出tan∠ABC的值．

解答 解：（1）∵MN是AB的垂直平分線，
∴MN是⊙O的直徑，且∠MEB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠MFD=∠MEB=90°，
∴由垂徑定理可知：MN垂直平分CD．

（2）連接OC、OB，AC與MN交于點G，
設OB=OC=r，
∴OE=r-1，
在Rt△OBE中，
由勾股定理可知：r²=（r-1）²+3²，
∴解得：r=5，
由垂徑定理可知：CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，
在Rt△CFO中，
∴由勾股定理可知：OC²=CF²+FO²，
∴FO=$\frac{\sqrt{51}}{2}$，
∴EF=EO+FO=4+$\frac{\sqrt{51}}{2}$，
∵CD∥AB，
∴△CFG∽△BEG，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{FG}{GE}$，
∴$\frac{FG}{GE}$=$\frac{7}{6}$，
∴GE=$\frac{6}{13}$EF，
∴tan∠ABC=$\frac{GE}{BE}$=$\frac{3}{13}$（4+$\frac{\sqrt{51}}{2}$）

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，解方程等知識，綜合程度較高，屬于中等題型．