Question

12．把一個自然數所有數位上的數字先平方再求和得到一個新數，叫做第一次運算，再把所得新數所有數位上的數字先平方再求和又將得到一個新數，叫做第二次運算，…如此重復下去，若最終結果為1，我們把具有這種特征的自然數稱為“快樂數”．例如：
32→3²+2²=13→1²+3²=10→1²+0²=1，
70→7²+0²=49→4²+9²=97→9²+7²=130→1²+3²+0²=10→1²+0²=1，
所以32和70都是“快樂數”．
（1）寫出最小的兩位“快樂數”；判斷19是不是“快樂數”；請證明任意一個“快樂數”經過若干次運算后都不可能得到4；
（2）若一個三位“快樂數”經過兩次運算后結果為1，把這個三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，求出這個“快樂數”．

Answer 1

分析 （1）根據“快樂數”的定義計算即可；
（2）設三位“快樂數”為100a+10b+c，根據“快樂數”的定義計算．

解答 解：（1）∵1²+0²=1，
∴最小的兩位“快樂數”10，
∵19→1²+9²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1，
∴19是快樂數；
證明：∵4→16→37→58→89→145→42→20→4，
4出現兩次，所以后面將重復出現，永遠不會出現1，
所以任意一個“快樂數”經過若干次運算后都不可能得到4．
（2）設三位“快樂數”為100a+10b+c，由題意，經過兩次運算后結果為1，所以第一次運算后結果一定是10或者100，
則a²+b²+c²=10或100，
∵a、b、c為整數，且a≠0，
∴當a²+b²+c²=10時，1²+3²+0²=10，
①當a=1，b=3或0，c=0或3時，三位“快樂數”為130，103，
②當a=2時，無解；
③當a=3，b=1或0，c=0或1時，三位“快樂數”為310，301，
同理當a²+b²+c²=100時，6²+8²+0²=100，
所以三位“快樂數”有680，608，806，860．
綜上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八個，
又因為三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，所以只有310和860滿足已知條件．

點評 本題考查的是因式分解的定義、“快樂數”的定義，正確理解“快樂數”的定義、掌握分情況討論思想是解題的關鍵．