Question

13．用“*”定義一種新運算：對于任意有理數a和b，規定a*b=ab²+2ab+a．
如：1*3=1×3²+2×1×3+1=16
（1）求2*（-2）的值；
（2）若$2*x=m，（{\frac{1}{4}x}）*3=n$（其中x為有理數），試比較m，n的大小；
（3）若$[{（{\frac{a+1}{2}}）*（{-3}）}]*\frac{1}{2}$=a+4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據給定定義式，代入數據求值即可；
（2）根據給定定義式，表示出m和n，做差后即可得出結論；
（3）重復套用定義式，得出關于a的一元一次方程，解方程求出a值即可．

解答 解：（1）2*（-2）=2×（-2）²+2×2×（-2）+2=2．
（2）m=2*x=2x²+2×2x+2=2x²+4x+2，n=（$\frac{1}{4}$x）*3=（$\frac{1}{4}$x）×3²+2×（$\frac{1}{4}$x）×3+$\frac{1}{4}$x=4x，
m-n=2x²+4x+2-4x=2x²+2≥2，
故m＞n．
（3）（$\frac{a+1}{2}$）*（-3）=$\frac{a+1}{2}$×（-3）²+2×$\frac{a+1}{2}$×（-3）+$\frac{a+1}{2}$=2a+2，（2a+2）*$\frac{1}{2}$=（2a+2）×（$\frac{1}{2}$）²+2×（2a+2）×$\frac{1}{2}$+（2a+2）=$\frac{9a}{2}$+$\frac{9}{2}$，
即a+4=$\frac{9}{2}$a+$\frac{9}{2}$，解得：a=-$\frac{1}{7}$．
答：當$[{（{\frac{a+1}{2}}）*（{-3}）}]*\frac{1}{2}$=a+4時，a的值為-$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查的解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）根據給定定義式，代入數據求值；（2）根據給定定義式，求出m、n；（3）重復套用給定定義式找出方程．