Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=12cm，OB=6cm，點P從O點開始沿OA邊向點A以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BO邊向點O以1cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發，用t（單位：秒）表示移動的時間（0≤t≤6），那么：
（1）當t=2時，求△POQ的面積．
（2）在運動過程中，PQ的長度能否為4cm？試說明理由．
（3）當t為何值時，△POQ與△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）求出OP、OQ的長，即可根據三角形面積公式計算即可．
（2）設t秒時，PQ的長度為4cm，在RT△POQ中，根據OP²+OQ²=PQ²，得到t²+（6-t）²=4²，即t²-6t+10=0，利用根的判別式判斷即可．
（3）分兩種情形討論即可①若△POQ∽△AOB時，得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，②若△POQ∽△BOA時，得$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，分別解方程即可．

解答 解：（1）當t=2時，OP=2cm，OP=6-2=4cm，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•OP•OQ=4cm²．

（2）設t秒時，PQ的長度為4cm，
在RT△POQ中，OP²+OQ²=PQ²，
即t²+（6-t）²=4²，
化簡得：t²-6t+10=0，
∵△＜0，
∴原方程無解
∴PQ的長度不能為4cm．
                      
（3）∵OB=6cm，點P從O點開始沿OA邊向點A以1cm/s的速度移動，
∴OQ=（6-t）cm，
∵點Q從點B開始沿BO邊向點O以1cm/s的速度移動，
∴OP=t（cm），
若△POQ∽△AOB時，
則有$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{t}{12}$，
整理得：12-2t=t，
解得：t=4，
則當t=4時，△POQ與△AOB相似；                 
若△POQ∽△BOA時，
則有$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，
即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{t}{6}$，
解得：t=2，
則當t=2時，△POQ與△BOA相似；                 
綜上所述：當t=4s或2s時，△POQ與△AOB相似；

點評 本題考查相似三角形綜合題、三角形面積問題等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．