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20.如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的OA、OC兩邊在坐標軸上,點B(4,2),D、E分別為BC、OA的中點,邊AB、BC與雙曲線y=$\frac{2}{x}$(x>0)交于點F、G,點P在雙曲線上點F、G兩點之間,過點P作x軸的垂線交BC于點H,交直線CE于點I,連接DP、PA.設點P的橫坐標為m.
(1)請直接寫出直線CE的解析式;
(2)探索點P的位置時,小明發現:當點P在與G重合或D、P、I共線時,PD=PI.進而猜想:對于任意一點P.PD=PI也成立.請你判斷該猜想是否正確,并說明理由;
(3)當m為何值時,AP+PI最小,并求出這個最小值.

分析 (1)先求出C、E的坐標,再利用待定系數法求出直線CE的解析式即可;
(2)設P(m,n),根據點P在雙曲線y=$\frac{2}{x}$(x>0)上得出mn=2,用mn表示出PI,DH,PH的長,再根據勾股定理得出PD的長,進而可得出結論;
(3)連接DA,根據AP+PI=AP+PD≥DA可知A、P、D共線時取等號,直線DA的方程為y=-x+4,聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}mn=2\\ n=-m+4\end{array}\right.$求出m的值即可得出結論.

解答 解:(1)∵矩形OABC的OA、OC兩邊在坐標軸上,點B(4,2),E為OA的中點,
∴C(0,2),E(2,0),
∴設直線CE的解析式為y=kx+b(k≠0),
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ 2k+b=0\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ k=-1\end{array}\right.$,
∴直線CE的解析式為y=-x+2;

(2)設P(m,n),
∵點P在雙曲線y=$\frac{2}{x}$(x>0)上,
∴mn=2,PI=n-(-m+2)=m+n-2,DH2=(2-m)2,PH2=(2-n)2
∴PD2=DH2+PH2=(m-2)2+(2-n)2=(m+n-2)2,即PD=m+n-2.
∴PD=PI;

(3)連接DA,
∵AP+PI=AP+PD≥DA,
∴A、P、D共線時取等號.
直線DA的方程為y=-x+4,聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}mn=2\\ n=-m+4\end{array}\right.$,解得m=2+$\sqrt{2}$或m=2-$\sqrt{2}$(舍去).
∴當m=2+$\sqrt{2}$時,AP+PI有最小值=AD=$\sqrt{{AB}^{2}+{BD}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$.

點評 本題考查的是反比例函數綜合題,涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點、矩形的性質及用待定系數法求一次函數的解析式、勾股定理等知識,難度適中.

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