Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的OA、OC兩邊在坐標軸上，點B（4，2），D、E分別為BC、OA的中點，邊AB、BC與雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于點F、G，點P在雙曲線上點F、G兩點之間，過點P作x軸的垂線交BC于點H，交直線CE于點I，連接DP、PA．設點P的橫坐標為m．
（1）請直接寫出直線CE的解析式；
（2）探索點P的位置時，小明發現：當點P在與G重合或D、P、I共線時，PD=PI．進而猜想：對于任意一點P．PD=PI也成立．請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；
（3）當m為何值時，AP+PI最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出C、E的坐標，再利用待定系數法求出直線CE的解析式即可；
（2）設P（m，n），根據點P在雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上得出mn=2，用mn表示出PI，DH，PH的長，再根據勾股定理得出PD的長，進而可得出結論；
（3）連接DA，根據AP+PI=AP+PD≥DA可知A、P、D共線時取等號，直線DA的方程為y=-x+4，聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}mn=2\\ n=-m+4\end{array}\right.$求出m的值即可得出結論．

解答 解：（1）∵矩形OABC的OA、OC兩邊在坐標軸上，點B（4，2），E為OA的中點，
∴C（0，2），E（2，0），
∴設直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ 2k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ k=-1\end{array}\right.$，
∴直線CE的解析式為y=-x+2；

（2）設P（m，n），
∵點P在雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，
∴mn=2，PI=n-（-m+2）=m+n-2，DH²=（2-m）²，PH²=（2-n）²，
∴PD²=DH²+PH²=（m-2）²+（2-n）²=（m+n-2）²，即PD=m+n-2．
∴PD=PI；

（3）連接DA，
∵AP+PI=AP+PD≥DA，
∴A、P、D共線時取等號．
直線DA的方程為y=-x+4，聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}mn=2\\ n=-m+4\end{array}\right.$，解得m=2+$\sqrt{2}$或m=2-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴當m=2+$\sqrt{2}$時，AP+PI有最小值=AD=$\sqrt{{AB}^{2}+{BD}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點、矩形的性質及用待定系數法求一次函數的解析式、勾股定理等知識，難度適中．