Question

14．等腰△ABC的三個頂點都在⊙O上，底邊BC=8cm，⊙O的半徑為5cm，則△ABC的面積為32或8．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，根據等腰三角形的性質得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，即AD垂直平分BC，根據垂徑定理得到圓心O在AD上；連結OD，在Rt△OBC中利用勾股定理計算出OD=3，然后分類討論：當△ABC為銳角三角形時，AD=OA+OD=8；當△ABC為鈍角三角形時，AD=OA-OD=2，再根據三角形面積公式分別進行計算．

解答 解：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AD垂直平分BC，
∴圓心O在AD上，
連結OD，
在Rt△OBC中，∵BD=4，OB=5，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3，
當△ABC為銳角三角形時，AD=OA+OD=5+3=8，此時S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×8=32；
當△ABC為鈍角三角形時，AD=OA-OD=5-3=2，此時S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×2=8．
故答案為：32或8．

點評 本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了等腰三角形的性質和勾股定理．