Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準碟形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的劇烈為碟高．
（1）拋物線y=x²對應的碟寬為2；拋物線y=$\frac{1}{2}$x²對應的碟寬為4；拋物線y=ax²（a＞0）對應的碟寬為$\frac{2}{a}$；拋物線y=a（x-3）²+2（a＞0）對應的碟寬為$\frac{2}{a}$；
（2）利用圖（1）中的結論：拋物線y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$（a＞0）對應的碟寬為6，求拋物線的解析式．
（3）將拋物線y_n=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對應準蝶形記為F_n（n=1，2，3，…），定義F₁，F₂，…..F_n為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n-1的相似比為$\frac{1}{2}$，且F_n的碟頂是F_n-1的碟寬的中點，現在將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對應的準蝶形記為F₁．
①求拋物線y₂的表達式；
②若F₁的碟高為h₁，F₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n．則h_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，F_n的碟寬右端點橫坐標為3+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 （1）根據碟寬的定義以及等腰直角三角形的性質可以假設B（m，m），代入拋物線的解析式，求出A、B兩點坐標即可解決問題．
（2）利用（1）中結論碟寬為$\frac{2}{a}$，列出方程即可解決問題．
（3）①由F₂的碟寬：F₁的碟寬=1：2，即$\frac{2}{{a}_{2}}$：$\frac{2}{{a}_{1}}$=1：2，由a₁=$\frac{1}{3}$，可得a₂=$\frac{2}{3}$，再求出y₂的頂點坐標即可解決問題．
②先求出h₁，h₂，…，B₁，B₂，…的橫坐標，探究規律后即可解決問題．

解答 解：（1）根據碟寬的定義以及等腰直角三角形的性質可以假設B（m，m）．
①把B（m，m）代入y=x²，得到m=1或0（舍棄），
∴A（-1，1），B（1，1），
∴AB=2，即碟寬為2．
②把B（m，m）代入y=$\frac{1}{2}$x²，得到m=2或0（舍棄），
∴A（-2，2），B（2，2），
∴AB=4，即碟寬為4．
③把B（m，m）代入y=ax²，得到m=$\frac{1}{a}$或0（舍棄），
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，即碟寬為$\frac{2}{a}$．
④根據碟寬的定義以及等腰直角三角形的性質，碟寬的大小與頂點的位置無關，所以$\frac{2}{a}$．
故答案分別為2，4，$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{a}$．

（2）由（1）可知碟寬為$\frac{2}{a}$=6，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．

（3）①∵y₁=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$=$\frac{1}{3}$（x-2）²-3的碟寬AB在x軸上，（A在B左邊），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴拋物線y₂的頂點坐標為（2，0），
∵F₂的碟寬：F₁的碟寬=1：2，
∴$\frac{2}{{a}_{2}}$：$\frac{2}{{a}_{1}}$=1：2，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a₂=$\frac{2}{3}$，
∴拋物線y₂的解析式為y=$\frac{2}{3}$（x-2）²．

②∵h_n：h_n-1=1：2，h₁=3，
∴h₂=$\frac{3}{2}$，h₃=$\frac{3}{{2}^{2}}$，h₄=$\frac{3}{{2}^{3}}$，…，h_n=$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
點碟寬右端點B的 橫坐標，B₁的橫坐標3，B₂的橫坐標為3+$\frac{3}{2}$，B₃的橫坐標為3+$\frac{3}{{2}^{2}}$，B₄的橫坐標為3+$\frac{3}{{2}^{3}}$，…B_n的橫坐標為3+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，
故答案為$\frac{3}{{2}^{n-1}}$，3+$\frac{3}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查二次函數綜合題，等腰直角三角形的性質、“準碟形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會從特殊到一般的探究規律的方法，屬于中考壓軸題．