Question

1．如圖，拋物線y=（x+1）²+k 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C （0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是拋物線上一動點，且在第三象限；
①當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標；
②在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△AMP是以AM為底的等腰直角三角形，若存在，請求出點P和點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將C（0，-3）代入拋物線的解析式求得k的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）連結AC，過點M作MD⊥AC，交AD于點D．先求得點A、B的坐標，然后再求得直線AC的解析式，設M（x，x²+2x-3），則D（x，-x-3），則MD=-x²-3x，然后依據四邊形AMCB的面積=△ABC面積+△AMC面積列出S與x的函數關系式，然后依據配方法求得二次函數的最大值，從而可求得點M的坐標；
（3）先求得拋物線的對稱軸方程為x=-1，然后過點M作MD⊥直線x=-1，垂足為D，設直線x=-1與x軸交于點E，先證明△APE≌△PMD，從而得到EP=MD，AE=PD．設點P（-1，a），點M（a-1，a-2）．將點M的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M與點P的坐標．

解答 解：（1）∵y=（x+1）²+k與y軸交于點C（0，-3）
-3=1+k，得，k=-4
∴拋物線解析式為y=（x+1）²-4，即y=x²+2x-3．
（2）如圖1所示：連結AC，過點M作MD⊥AC，交AD于點D．

令y=0得：x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0）、B（1，0）．
設直線AC的解析式為y=kx+b．
∵將A（-3，0）、C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-3．
∴直線AC解析式為y=-x-3．
設M（x，x²+2x-3），則D（x，-x-3），則MD=-x²-3x．
∵四邊形AMCB的面積=△ABC面積+△AMC面積，
∴四邊形AMCB的面積=$\frac{1}{2}$MD•AO+$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×（-x²-3x）×3+$\frac{1}{2}$×4×3=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x+6=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$．
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，S最大值為$\frac{75}{8}$，點M的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
（3）存在，理由如下．
∵x=-$\frac{2a}$=-1，
∴拋物線的對稱軸為x=-1．
如圖2所示：過點M作MD⊥直線x=-1，垂足為D，設直線x=-1與x軸交于點E

∵△APM為等腰直角三角形，
∴AP=PM，∠APE+∠MPD=90°．
∵∠MPD+∠PMD=90°，
∴∠PMD=∠APE．
在△APE和△PMD中$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠PDM}\\{∠PMD=∠APE}\\{AP=PM}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△PMD．
∴EP=MD，AE=PD．
設點P（-1，a），點M（a-1，a-2）．
將M點代入y=x²+2x-3中，得（a-1）²+2（a-1）-3=a-2，整理得：a²-a-2=0，解得a=2或a=-1，
∵點P在x軸的下方，
∴a=-1．
∴P（-1，-1）、M（-2，-3）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、全等三角形的性質和判斷、求二次函數的最大值，列出S與x的函數關系式是解答問題（2）的關鍵，用含a的式子表示點M的坐標是解答問題（3）的關鍵．