Question

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠ B=60°， CD是⊙ O的直徑，P是CD延長線上的點，且AP=AC.

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）若AC= 3，求PD的長

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OA，求出∠AOC，求出∠ACP，得出∠P，求出∠AOD，推出∠PAO=90°，根據切線判定推出即可；

（2）根據∠ACD=30°，AC=3求出DC，求出半徑，在Rt△PAO中根據勾股定理求出即可．

試題解析：（1）證明：連接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°，

∴∠AOP=60°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

即OA⊥AP，

∵點A在⊙O上，

∴AP是⊙O的切線．

（2）【解析】
連接AD，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°，

∴AD=AC?tan30°=，CD=2AD=2，

∴DO=AO=CD=，

在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA2+AO2=PO2，

∴32+（）2=（PD+）2，

∵PD的值為正數，

∴PD=．

考點：切線的判定．