Question

13．如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于第一象限C，D兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OC，OD（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值；
（2）雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得△POC和△POD的面積相等？若存在，給出證明并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$求出k=4，把（4，m）代入y=$\frac{4}{x}$求出m即可，把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出解析式，求得出一次函數(shù)的解析式；
（2）雙曲線上存在點(diǎn)P，使得S_△POC=S_△POD，這個(gè)點(diǎn)就是∠COD的平分線與雙曲線的y=$\frac{4}{x}$交點(diǎn)，易證△POC≌△POD，則S_△POC=S_△POD．

解答 解：（1）把C（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=4，
把（4，m）代入y=$\frac{4}{x}$，得m=1；
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，m=1；
把C（1，4），D（4，1）代入y=ax+b得出$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+5；
（2）雙曲線上存在點(diǎn)P（2，2），使得S_△POC=S_△POD，理由如下：
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），
∴OD=OC=$\sqrt{17}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P在∠COD的平分線上時(shí)，∠COP=∠POD，又OP=OP，
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），
可得∠COB=∠DOA，
又∵這個(gè)點(diǎn)是∠COD的平分線與雙曲線的y=$\frac{4}{x}$交點(diǎn)，
∴∠BOP=∠POA，
∴P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)坐標(biāo)相等，
即xy=4，x²=4，
∴x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，y=2，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），使得△POC和△POD的面積相等．
利用點(diǎn)CD關(guān)于直線y=x對(duì)稱，P（2，2）或P（-2，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，用了數(shù)形結(jié)合思想．