Question

3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中點，點E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點A落在點A'處，當A'E⊥AC時，A'B=$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：
①如圖1，作輔助線，構建矩形，先由勾股定理求斜邊AB=10，由中點的定義求出AD和BD的長，證明四邊形HFGB是矩形，根據同角的三角函數列式可以求DG和DF的長，并由翻折的性質得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，由矩形性質和勾股定理可以得出結論：A′B=$\sqrt{2}$；
②如圖2，作輔助線，構建矩形A′MNF，同理可以求出A′B的長．

解答 解：分兩種情況：
①如圖1，過D作DG⊥BC與G，交A′E與F，過B作BH⊥A′E與H，
∵D為AB的中點，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∵∠C=90，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴BD=AD=5，
sin∠ABC=$\frac{DG}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{DG}{5}=\frac{8}{10}$，
∴DG=4，
由翻折得：∠DA′E=∠A，A′D=AD=5，
∴sin∠DA′E=sin∠A=$\frac{BC}{AB}=\frac{DF}{A′D}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{DF}{5}$，
∴DF=3，
∴FG=4-3=1，
∵A′E⊥AC，BC⊥AC，
∴A′E∥BC，
∴∠HFG+∠DGB=180°，
∵∠DGB=90°，
∴∠HFG=90°，
∵∠EHB=90°，
∴四邊形HFGB是矩形，
∴BH=FG=1，
同理得：A′E=AE=8-1=7，
∴A′H=A′E-EH=7-6=1，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：A′B=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
②如圖2，過D作MN∥AC，交BC與于N，過A′作A′F∥AC，交BC的延長線于F，延長A′E交直線DN于M，
∵A′E⊥AC，
∴A′M⊥MN，A′E⊥A′F，
∴∠M=∠MA′F=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠F=∠ACB=90°，
∴四邊形MA′FN是矩形，
∴MN=A′F，FN=A′M，
由翻折得：A′D=AD=5，
Rt△A′MD中，∴DM=3，A′M=4，
∴FN=A′M=4，
Rt△BDN中，∵BD=5，
∴DN=4，BN=3，
∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，
BF=BN+FN=3+4=7，
Rt△ABF中，由勾股定理得：A′B=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$；
綜上所述，A′B的長為$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$或7$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質、勾股定理、矩形的性質、三角函數及解直角三角形的有關知識，作輔助線構建矩形是本題的關鍵，明確翻折前后的對應角和邊相等，在證明中利用同角的三角函數列比例式比證明相似列比例式計算簡單．