Question

11．已知關于x的二次方程ax²+bx+c=0沒有實數根，一位老師改動了方程的二項式系數后，得到的新方程有兩個根為-1和$\frac{5}{3}$；另一位老師改動原來方程的某一個系數的符號，所得到的新方程的兩個根為-2和10，那么$\frac{b+c}{a}$=28．

Answer 1

分析 首先根據一位老師改動了方程的二次項系數后，得到的新方程有兩個根為-1和$\frac{5}{3}$，求作一個符合條件的一元二次方程，即x²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{3}$=0，進而表示原方程是ax²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0；再根據另一位老師改動原來方程的某一個系數的符號，所得到的新方程的兩個根為-2和10，求作一個符合條件的一元二次方程，即x²-8x-20=0，此方程兩邊同乘以$\frac{1}{12}$k，得$\frac{1}{12}$kx²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0，從而得到a=$\frac{1}{12}$k，最后即可求解．

解答 解：利用新方程有兩個根為-1和$\frac{5}{3}$構造1個一元二次方程為：x²-（-1+$\frac{5}{3}$）x-1×$\frac{5}{3}$=0 即x²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{3}$=0，與ax²+bx+c=0對應．于是得到：b=-$\frac{2}{3}$k，c=-$\frac{5}{3}$k．（其中k是不為0的整數．）
從而原方程為：ax²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0．同樣再由另一個新方程的兩個根-2和10，構造一個方程：
x²-（-2+10）x+（-2）×10=0，
即x²-8x-20=0．
此方程兩邊同乘以$\frac{1}{12}$k，得 $\frac{1}{12}$kx²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0，
它與ax²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0對應，得 a=$\frac{1}{12}$k，從而原方程就是：$\frac{1}{12}$kx²-$\frac{2}{3}$kx-$\frac{5}{3}$k=0，所以$\frac{b+c}{a}$=$\frac{-\frac{2}{3}k-\frac{5}{3}k}{\frac{1}{12}k}$=28．
故答案為28．

點評 此題考查了一元二次方程根與系數的關系，能夠根據已知的兩根求作一個一元二次方是解題的關鍵．