Question

16．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．
（1）求證：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，DB=2$\sqrt{3}$，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質可知AB=DC，∠A=∠C=90°，由翻折的性質可知∠AB=BF，∠A=∠F=90°，于是可得到∠F=∠C，BF=DC，然后依據AAS可證明△DCE≌△BFE；
（2）先依據勾股定理求得BC的長，由全等三角形的性質可知BE=DE，最后再△EDC中依據勾股定理可求得ED的長，從而得到BE的長．

解答 （1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°
∵由翻折的性質可知∠F=∠A，BF=AB，
∴BF=DC，∠F=∠C．
在△DCE與△BEF中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠F=∠C}\\{BF=CD}\\{∠BEF=∠DEC}\end{array}}\right.$
∴△DCE≌△BFE．
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{D{B}^{2}-C{D}^{2}}$=3．
∵△DCE≌△BFE，
∴BE=DE．
設BE=DE=x，則EC=3-x．
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，即（3-x）²+（$\sqrt{3}$）²=x²．
解得：x=2．
∴BE=2．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、勾股定理的應用、矩形的性質，依據勾股定理列出關于x的方程是解題的關鍵．