Question

（本題6分）如圖1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上，從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．

（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發現：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發現的結論；

（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD2+CE2=DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF（如圖2）；小亮的想法：將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACG（如圖3）．請你選擇其中的一種方法證明小敏的發現的是正確的．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）如圖1，根據圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）小穎的方法是應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中應用勾股定理而證明；小亮的方法是將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，根據旋轉的性質用SAS得到△ACE≌△ACG，從而在Rt△CEG中應用勾股定理而證明．

試題解析：1）證明：如圖1，∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°．

∵∠BAD=∠DAM，

∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，

∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，

∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

（2）如圖2，連接EF．

由折疊可知，∠BAD＝∠FAD，AB＝AF，BD＝DF，

∵∠BAD＝∠FAD，

∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∵ AF=AC，∠FAE=∠CAE，AE=AE ，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2． （利用旋轉的方法證明相應給分）

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．