(本題6分)如圖1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏將一塊三角板中含45°角的頂點放在A上,從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α,其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D,直角邊所在的直線交直線BC于點E.
(1)小敏在線段BC上取一點M,連接AM,旋轉中發現:若AD平分∠BAM,則AE也平分∠MAC.請你證明小敏發現的結論;
(2)當0°<α≤45°時,小敏在旋轉中還發現線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系:BD2+CE2=DE2.同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決;小穎的想法:將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF(如圖2);小亮的想法:將△ABD繞點A順時針旋轉90°得到△ACG(如圖3).請你選擇其中的一種方法證明小敏的發現的是正確的.
見解析
【解析】
試題分析:(1)如圖1,根據圖形、已知條件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°,所以∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC;(2)小穎的方法是應用折疊對稱的性質和SAS得到△AEF≌△AEC,在Rt△OCE中應用勾股定理而證明;小亮的方法是將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG,根據旋轉的性質用SAS得到△ACE≌△ACG,從而在Rt△CEG中應用勾股定理而證明.
試題解析:1)證明:如圖1,∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°.
∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°.
∵∠BAD=∠DAM,
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°,
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC,
∴∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC;
(2)如圖2,連接EF.
由折疊可知,∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF,
∵∠BAD=∠FAD,
∴由(1)可知,∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
∵ AF=AC,∠FAE=∠CAE,AE=AE ,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2. (利用旋轉的方法證明相應給分)
考點:1.全等三角形的判定與性質;2.勾股定理;3.等腰直角三角形.
科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省江陰市要塞片八年級上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:選擇題
在直角△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,若CD=4,則點D到斜邊AB的距離為__________.
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省江陰市要塞片九年級上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:選擇題
下列說法正確的有幾個( )
①經過三個點一定可以作圓;
②任意一個圓一定有內接三角形,并且只有一個內接三角形;
③任意一個三角形一定有一個外接圓并且只有一個外接圓;
④垂直于弦的直徑必平分弦;
⑤經過不在同一直線上的四個點一定可以作圓.
A.3 B.2 C.1 D.0
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省江陰市要塞片七年級上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:填空題
比較大小,用“<”“>”或“=”連接:
(1)
(2)-3.14 -︱-π︱
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省江陰市要塞片七年級上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:選擇題
下列代數式中,單項式共有( )
a, -2ab, ,
,
, -1,
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省江陰市八年級上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:填空題
三角板是我們常用的數學工具.下圖是將其中一個三角板的直角頂點放在另一個等腰直角三角形斜邊BC的中點D處轉動,DE與AB交于點M,DF與AC交于點N(點M、N不與△ABC頂點重合),連接AD,若CN=2,DN=,則線段AN的長為 。
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省江陰市九年級上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題6分)釣魚島自古以來就是我國的神圣領土,為維護國家主權和海洋權利,我國海監和漁政部門對釣魚島海域實現了常態化巡航管理.如圖,某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監船A、B,B船在A船的正東方向,且兩船保持20海里的距離,某一時刻兩海監船同時測得在A的東北方向,B的北偏東15°方向有一我國漁政執法船C,求此時船C與船A的距離是多少.(結果保留根號)
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科目:初中數學 來源:2014-2015學年江蘇省江陰市八年級上學期期中考試數學試卷(解析版) 題型:選擇題
下列語句中正確的個數有( )
①角的對稱軸是角的平分線.
②兩個能全等的圖形一定能關于某條直線對稱.
③一個軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸.
④兩個成軸對稱的圖形的對應點一定在對稱軸的兩側.
A.1 B.2 C.3 D.4
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