Question

10．如圖，邊長為6的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點F是AB上一點．點F關于直線DE的對稱點G恰好在BC延長線上，FG交DE于點H．點M為AD的中點，若MH=$\sqrt{17}$，則EG=5．

Answer 1

分析 連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由點F，點G關于直線DE的對稱，得到DF=DG，根據正方形的性質得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，證得△FDG是等腰直角三角形，推出四邊形APHQ是矩形，證得△HPF≌△DHQ，根據全等三角形的性質得到HP=HQ，證得APHQ為正方形，利用正方形性質聯系題中所給數據計算出正方形邊長，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG長．

解答 解：連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，
∵點F，點G關于直線DE的對稱，
∴DF=DG，
正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，
∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD與Rt△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△CDG，
∴∠ADF=∠CDG，
∴∠FDG=∠ADC=90°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∵DH⊥CF，
∴DH=FH=$\frac{1}{2}$FG，
∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，
∴四邊形APHQ是矩形，
∴∠PHQ=90°，
∵∠DHF=90°，
∴∠PHF=∠DHQ，又在△PFF與△DQH中有$\left\{\begin{array}{l}{∠HPF=∠HQD=90°}\\{∠PHF=∠DHQ}\\{HF=HD}\end{array}\right.$，
∴△HPF≌△DHQ，
∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；
設正方形APHQ邊長為a，則在Rt△MQH中，有（a-3）²+a²=17，解得a=4；
∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，
又易證△FPH∽△EHG，則有$\frac{EG}{FH}=\frac{GH}{PH}$，即EG=$\frac{F{H}^{2}}{PH}$，
又FH²=2²+4²=20，PH=4，
∴EG=5
故答案為：5．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．