Question

（本題滿分12分）問題提出：平面內不在同一條直線上的三點確定一個圓．那么平面內的四點（任意三點均不在同一直線上），能否在同一個圓呢？

初步思考：設不在同一條直線上的三點A、B、C確定的圓為⊙O．

（1）當C、D在線段AB的同側時，

如圖①，若點D在⊙O上，此時有∠ACB＝∠ADB，理由是 ；

如圖②，若點D在⊙O內，此時有∠ACB ∠ADB；

如圖③，若點D在⊙O外，此時有∠ACB ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，請直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件： ．

類比學習：（2）仿照上面的探究思路，請探究：當C、D在線段AB的異側時的情形．

如圖④，此時有 ，

如圖⑤，此時有 ，

如圖⑥，此時有 ．

由上面的探究，請用文字語言直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：

．

拓展延伸：（3）如何過圓上一點，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上．

求作：CN⊥AB．

作法：①連接CA，CB；

②在上任取異于B、C的一點D，連接DA，DB；

③DA與CB相交于E點，延長AC、BD，交于F點；

④連接F、E并延長，交直徑AB于M；

⑤連接D、M并延長，交⊙O于N．連接CN．則CN⊥AB．

請按上述作法在圖④中作圖，并說明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結論）

 

Answer 1

同弧所對的圓周角相等 ＜ ＞ 當C、D在線段AB的同側且∠ACB=∠ADB時，A、B、C、D四點在同一個圓上 當C、D在線段AB的異側且∠ACB+∠ADB=180°時，A、B、C、D四點在同一個圓上

【解析】

試題分析： （1）∠ACB=∠ADB的依據是：同弧所對的圓周角相等．利用圓周角定理及三角形的外角性質，即可得到圓外角、圓周角、圓內角三者之間的關系，進而得到四點共圓的判定方法．

（2）利用圓周角的度數與所對弧的度數的關系即可得到∠ACB+∠ADB=180°；再結合三角形的外角性質，即可得到點D在圓內、圓外時∠ACB+∠ADB與180°的大小關系，進而得到四點共圓的判定方法．

（3）由（2）中的結論可證到：點E、D、B、M在同一個圓上，從而有∠EMD=∠EBD．由∠CND=∠CBD可證到CN∥EM，進而可證到CN⊥AB．

試題解析：

（1）①如圖①，根據“同弧所對的圓周角相等”得∠ACB=∠ADB．

②如圖②，延長BD交⊙O于點E，

∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB

∴∠ACB＜∠ADB．

③如圖③，連接AF，

∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB

∴∠ACB＞∠ADB．

故答案為：同弧所對的圓周角相等、＜、＞、

當C、D在線段AB的同側且∠ACB=∠ADB時，A、B、C、D四點在同一個圓上．

（2）①如圖④，

∵與的度數之和等于360°，

且∠ADB的度數等于度數的一半，

∠ACB的度數等于度數的一半，

∴∠ACB+∠ADB=180°．

②如圖⑤，延長AD交⊙O于點E，連接BE，

∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，

∴∠ACB+∠ADB＞180°．

③如圖⑥，連接BF

∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，

∴∠ACB+∠ADB＜180°．

故答案為：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．

當C、D在線段AB的異側且∠ACB+∠ADB=180°時，A、B、C、D四點在同一個圓上．

（3）圖⑦即為所求作．

∵AB是⊙0的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，

∴根據三角形的三條高交于同一點可得：FM⊥AB．

∴∠EMB=90°．

∴∠EMB+∠EDB=180°．

∴由（2）中的結論可得：點E、D、B、M在同一個圓上，如圖⑦所示．

∴∠EMD=∠EBD．

∵∠CND=∠CBD，

∴∠CND=∠EMD．

∴CN∥EM．

∴∠CHB=∠EMB．

∵∠EMB=90°，

∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

考點：圓周角定理，三角形的外角性質，