Question

12．一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)A在DF延長(zhǎng)線上，BC∥DA，∠D=∠BAC=90°，∠E=30°，∠C=45°，AC=9$\sqrt{2}$
（1）求∠ABF的度數(shù)；
（2）若取$\sqrt{3}$=1.73，試求AF的長(zhǎng)（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DFE=90°-∠E=60°，∠ABC=∠C=45°，再利用平行線的性質(zhì)得出∠CBF=∠DFE=60°，那么由∠ABF=∠CBF-∠ABC即可求出∠ABF的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，解直角△ACB，得出AB=AC=9$\sqrt{2}$，由BC∥DA，得到∠BAM=∠ABC=45°，那么AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=9．再解直角△BFM，求出FM=$\frac{BM}{tan60°}$=3$\sqrt{3}$，根據(jù)AF=AM-FM即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠D=∠BAC=90°，∠E=30°，∠C=45°，
∴∠DFE=90°-∠E=60°，∠ABC=∠C=45°，
∵BC∥DA，
∴∠CBF=∠DFE=60°，
∴∠ABF=∠CBF-∠ABC=15°；

（2）過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，
∵在△ACB中，∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，AC=9$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=9$\sqrt{2}$，
∵BC∥DA，
∴∠BAM=∠ABC=45°，
∴AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=9．
∵在△BFM中，∠BMF=90°，∠BFM=60°，
∴FM=$\frac{BM}{tan60°}$=3$\sqrt{3}$，
∴AF=AM-FM=9-3$\sqrt{3}$≈3.81．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，難度中等，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)題意建立三角形利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．