Question

2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點E，交BC于點D，過點E做直線l∥BC．
（1）判斷直線l與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點F，求證：BE=EF．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，連接半徑，由角平分線得：∠BAE=∠CAE，圓周角相等，則弧相等，再由垂徑定理證明OE⊥BC，所以OE⊥l，直線l與⊙O相切；
（2）證明∠EBF=∠EFB，根據等角對等邊得結論．

解答 解：（1）直線l與⊙O相切，理由是：
如圖，連接OE、OB、OC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BOE=∠COE，
∵OB=OC，
∴OE⊥BC，
∵l∥BC，
∴OE⊥l，
∴直線l與⊙O相切；
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF，
∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB，
∴BE=EF．

點評 本題考查了直線和圓的位置關系、垂徑定理、等腰三角形的性質和判定以及圓心角、圓周角和弧的關系，熟練掌握切線的判定是關鍵：連接半徑，證明半徑與直線垂直．