Question

11．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如圖1，當點A、C、D在同一條直線上時，求證：AF⊥BD；　
（2）如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，求證：AF⊥BD；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG是一個固定的值嗎？若是，求出∠AFG的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠∠CBD，由∠AEC=∠BEF，即可推出∠BFE=∠ACE=90°．
（2）如圖2中，只要證明△ACE≌△BCD，推出∠1=∠2，由∠3=∠4，即可推出∠BFA=∠BCA=90°．
（3）如圖3中，只要證明△ACE≌△BCD，推出S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，推出$\frac{1}{2}$•AE•CN=$\frac{1}{2}$•BD•CM，推出CM=CN，因為CM⊥BD，CN⊥AE，即可推出CF平分∠BFE，
由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠∠CBD，∵∠AEC=∠BEF，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．

（2）證明：如圖2中，

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．

（3）∠AFG=45°，
如圖3，過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，
∴$\frac{1}{2}$•AE•CN=$\frac{1}{2}$•BD•CM，
∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．

點評 本題考查三角形綜合題、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的判定定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會添加輔助線利用面積法證明線段相等，屬于中考壓軸題．