Question

20．先閱讀下列材料，再解答下列問題：
材料：因式分解：（x+y）²+2（x+y）+1．
解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則
原式=A²+2A+1=（A+1）²
再將“A”還原，得：原式=（x+y+1）²．
上述解題候總用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）因式分解：1+2（x-y）+（x-y）²=（x-y+1）²．
（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4
（3）證明：若n為正整數，則式子（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一個整數的平方．

Answer 1

分析 （1）把（x-y）看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解；
（3）將原式轉化為（n²+3n）[（n+1）（n+2）]+1，進一步整理為（n²+3n+1）²，根據n為正整數得到n²+3n+1也為正整數，從而說明原式是整數的平方．

解答 解：（1）1+2（x-y）+（x-y）²
=（x-y+1）²；

（2）令A=a+b，則原式變為A（A-4）+4=A²-4A+4=（A-2）²，
故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）²；

（3）（n+1）（n+2）（n²+3n）+1
=（n²+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²，
∵n為正整數，
∴n²+3n+1也為正整數，
∴代數式（n+1）（n+2）（n²+3n）+1的值一定是某一個整數的平方．

點評 本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．