Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在軸的負半軸和軸的正半軸上，拋物線經過點A、B，且18+=0．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．

① 移動開始后第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）y=x2-4x-12；（2）①S=-t2+6t，0＜t＜6；②拋物線上存在點R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的對邊相等求出點A、B的坐標，把兩點的坐標代入拋物線解析式，再聯立18a+c=0，解關于a、b、c的三元一次方程組，然后即可得到拋物線的關系式；

（2）①根據速度的不同，表示出BP、BQ的長度，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得到S與t的關系式，根據速度分別求出點P與點Q的運動時間即可得到t取值范圍；

②先根據二次函數的最大值問題求出S取最大值時的t的值，從而求出點P與點Q的坐標，再根據平行四邊形的對邊平行且相等，分QR與PB是對邊時，PR與QB是對邊時，兩種情況求出點Q的坐標，然后代入拋物線解析式進行驗證，如果點Q在拋物線上，則存在，否則不存在．

試題解析：（1）∵矩形OABC邊長OA、OC分別為12cm和6cm，

∴點A、B的坐標分別為A（0，-12），B（6，-12），

又∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B，且18a+c=0，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2-4x-12；

（2）①根據題意，PB=AB-AP=6-t，BQ=2t，

所以，S=PB•BQ=（6-t）×2t=-t2+6t，

即S=-t2+6t，

點P運動的時間為6÷1=6秒，

點Q運動的時間為12÷2=6秒，

所以，t的取值范圍是0＜t＜6；

②拋物線上存在點R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形．

理由如下：∵S=-t2+6t=-（t-3）2+9，

∴當t=3秒時，S取最大值，

此時，PB=AB-AP=6-t=6-3=3，

BQ=2t=2×3=6，

所以，要使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，

（i）當QR與PB是對邊時，點R的橫坐標是6+3=9，縱坐標是-（12-6）=-6，

所以點R的坐標為（9，-6），

此時×92-4×9-12=6≠-6，

所以點R不在拋物線上，

（ii）當PR與QB是對邊時，點R的橫坐標是3，縱坐標是-（12+6）=-18，

所以點R的坐標是（3，-18），

此時，×32-4×3-12=-18，

所以點R在拋物線上，

綜上所述，拋物線上存在點R（3，-18），使P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形．

考點：二次函數綜合題．